Resolvemos tus dudas

a) El trabajo que realiza la fuerza gravitatoria es igual a la variación de la energía potencial que experimenta la piedra:

\[ W_g = \Delta E_P = \color{red}{m\cdot g\cdot \Delta h} \]

Coincide con la definición del trabajo como el producto de la fuerza por el desplazamiento:

\[ W_g = \vec F\cdot \vec d = F\cdot d\cdot cos\ 0 = \color{red}{m\cdot g\cdot \Delta h} \]

b) El trabajo del campo es igual a la variación de la energía cinética: \( W_g = \Delta E_C \)

\[ W_g = \frac{m}{2}\cdot \Delta v^2\ \to\ \sqrt{\frac{2W_g}{m}} = v \]

Cuando la piedra alcanza la altura máxima la velocidad final es cero, por lo que la ecuación anterior queda como:

\[ \frac{2\frac{m}{2}\cdot v_0^2}{m} = v^2\ \to\ \color{red}{v_0 = v} \]

Espero que te sea de ayuda.