Al tratarse de un movimiento circular uniforme:
a) La aceleración resultante es la aceleración normal: \( a_n = \frac{v^2}{R} \).
Pero la velocidad se puede expresar en función de la velocidad angular: \( v = \omega_1\cdot L \). Si sustituyes en la ecuación anterior:
\[ \color{blue}{a_n = \omega_1^2\cdot R} \]
Pero no conoces el radio, aunque lo puedes expresar en función de la longitud de la cuerda y del ángulo del cono: \( sen\ \beta = \frac{R}{L}\ \to\ R = L\cdot sen\ \beta \).
La ecuación final queda:
\[ \color{red}{a_n = \omega_1^2\cdot L\cdot sen\ \beta} \]
b) La fuerza centrípeta es el producto de la masa del cuerpo por la aceleración normal:
\[ \color{red}{F_{ct} = m\cdot \omega_1^2\cdot L} \]
c) Como está apoyando en la superficie del cono, la compente del peso en la dirección de la tensión es \( p_x = mg\cdot sen\ \beta \). La tensión será la suma de la componente "x" del peso y la aceleración normal:
\[ T = \sqrt{a_n^2 + p_x^2}\ \to\ \color{red}{T = \sqrt{(\omega_1^2\cdot L\cdot sen\ \beta)^2 + (mg\cdot sen\ \beta)^2} = (sen\ \beta)\sqrt{(\omega_1^2\cdot L)^2 + (mg)^2}} \]
El apartado d) puedes verlo en este ejercicio resuelto:
https://ejercicios-fyq.com/Estudio-de-un-muelle-que-gira-formando-un-pendulo-conico