No entiendo cómo has escrito la fórmula a la que debes llegar pero intuyo que será la expresión de la aceleración centrípeta en función del radio y el periodo. La aceleración centrípeta es:
\( a_{ct} = \frac{v^2}{R} \)
La velocidad la puedes expresar en función de la velocidad angular:
\( v = \omega\cdot R \)
Si sustituyes en la primera ecuación tienes:
\( a_{ct} = \frac{\omega^2\cdot R^2}{R} = \color{green}{\omega^2\cdot R} \)
Como la velocidad angular hace referencia a las vueltas que da el sistema en un tiempo, puedes escribirla como:
\( \omega = \frac{2\pi}{T} \)
Al sustituir tienes la fómula buscada:
\[ \color{red}{a_{ct} = \frac{4\pi^2\cdot R}{T^2}} \]