Tu razonamiento puede ser correcto pero yo partiría del valor de la energía media promedio de cada partícula por grado de libertad: \( U = \frac{1}{2}nRT \)
Como en el plano son dos los grados de libertad, la energía promedio será: \( U = \frac{2}{2}nRT\ \to\ \color{blue}{U = nRT} \)
Como el calor específico a volumen constante se define como la derivada de la energía interna con respecto a la temperatura, y suponiendo que es un mol de gas el que consideras:
\[ C_v = \frac{dU}{dT}\ \to\ \color{red}{C_v = R} \]