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Autor Tema: Cerca perimetral  (Leído 297 veces)

Noel Enrique

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Cerca perimetral
« en: Octubre 14, 2022, 05:10:05 pm »
Comparto este que encontré interesante y dice así.

La base de una cerca perimetral circular para guardar ganado tiene radio 10m y su altura en la posición \( \left(x;y\right) \) está dada por la función \( h_{\left(x;y\right)}=4+0.01\left(x^2-y^2\right) \)
a) Determine analíticamente las coordenadas \( \left(x;y\right) \) donde la cerca alcanza los puntos de mayor y menor altura. Qué valores tiene dichas alturas?
b) Si un litro de pintura cubre \( 50m^2 \), cuanta pintura necesitará si pinta ambos lados de la cerca?
c) Qué longitud tiene el perímetro o borde superior de la cerca?
Sólo somos una raza avanzada de monos en un planeta menor de una estrella promedio.
Pero podemos entender el Universo. Eso nos hace muy especiales.
Stephen Hawking.

Aritz

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Re:Cerca perimetral
« Respuesta #1 en: Octubre 17, 2022, 02:34:14 am »
Hola Noel,
Interesante problema. Adjunto la solución a la que he llegado.
Los principales pasos son:
1.- Cambio a coordenadas polares
2.- Altura en función del ángulo
3.- Derivada de h respecto del ángulo, igualo a 0 y resuelvo:
Máximos de 5 m de altura en (10,0) y (-10,0)
Mínimos de 3 m de altura en (0,10) y (0,10)
4.- Pintura a emplear. Aproximadamente 10 litros de pintura
5.- Este el el punto que me parece más interesante y complicado (longitud de la cabeza del vallado). Empleando infinitesimales, relaciono el arco con el ángulo. Finalmente integro para obtener la longitud de la cabeza de vallado. Aproximadamente 63,44 ml de longitud tiene la cabeza del vallado.
Un saludo,

Noel Enrique

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Re:Cerca perimetral
« Respuesta #2 en: Octubre 19, 2022, 04:14:24 pm »
Saludos Aritz. A mi también me ha dado esos valores de altura máxima y mínima, lo que lo hemos resuelto por vias diferentes, yo utilicé multiplicadores de Lagrange en la solución. Para el cálculo del área utilicé integral de superficie y para la longitud del perimetro superior coincidimos en usar integral curbilínea. Pero creo que usaste calculadora para la solución de esta integral porque esta función sub-integral no posee una antiderivada elemental. Generalmente no me gusta usar calculadora a no ser casos extremos, la resolví expresando la función sub-integral como una serie de potencias a partir de la serie binomial y esta serie tiene un radio de convergencia infinito para toda \( x\,\left(R=\infty\right) \). También comprobé el resultado utilizando integración aproximada por la regla de Simpson y arroja el mismo resultado de 63.43 mteros aproximadamente. Luego te escribo mi resultado con calma y lo envio. Saludos.
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Aritz

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Re:Cerca perimetral
« Respuesta #3 en: Octubre 19, 2022, 05:42:28 pm »
Buenas tardes,

Apoyándote en la representación de la función y de la integral es sencillo sacar el valor de la integral.
Adjunto desarrollo.

El valor exacto sería:
(10+1041/2)*PI

Un saludo,

Noel Enrique

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Re:Cerca perimetral
« Respuesta #4 en: Octubre 21, 2022, 02:55:41 pm »
Buenas tardes,

Apoyándote en la representación de la función y de la integral es sencillo sacar el valor de la integral.
Adjunto desarrollo.

El valor exacto sería:
(10+1041/2)*PI

Un saludo,


Perdona Aritz, pero no entiendo muy bien lo que finalmente hiciste para calcular el perimetro superior de la cerca. Sé que calculas el área bajo la curva que es lo que representa la integral, pero no comprendo muy bien la fórmula final que empleas. El resultado es el mismo pero también creo que te beneficia la figura plana a la cual le estás calculando el área.
Por ejemplo, si necesitaras encontrar el área del lóbulo principal de la curva \( f_\left(x\right)=e^{-x^2}\cdot{\cos\left(2x\right)} \), por encima del eje \( x \), cómo lo harías?
Saludos Aritz...
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Noel Enrique

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Re:Cerca perimetral
« Respuesta #5 en: Octubre 21, 2022, 02:56:19 pm »
Cuando tenga un tiempo de editarlo, te pongo lo que hice.
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Aritz

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Re:Cerca perimetral
« Respuesta #6 en: Octubre 21, 2022, 04:46:15 pm »
Hola Noel,

La longitud de la cabeza del cercado lo obtengo del punto 5 del primer mensaje

El siguiente mensaje es como obtengo el valor de dicha integral (o lo que es lo mismo el área bajo la curva) Efectivamente, la forma de curva posibilita realizar fácilmente la media (cresta+valle)/periodo

Un saludo,

Aritz

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Re:Cerca perimetral
« Respuesta #7 en: Octubre 21, 2022, 04:54:12 pm »
La f(x) que indicas no es periódica, ni tiene la simetría que tiene (100+4(sin(2x))^2)^(1/2; por lo que no se puede hacer la media de forma tan intuitiva.

Noel Enrique

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Re:Cerca perimetral
« Respuesta #8 en: Octubre 21, 2022, 06:51:56 pm »
La f(x) que indicas no es periódica, ni tiene la simetría que tiene (100+4(sin(2x))^2)^(1/2; por lo que no se puede hacer la media de forma tan intuitiva.

Como pensaba, en este caso no puedes operar como en el anterior. Aquí si es necesario aplicar métodos aproximativos de integración como regla del trapecio o de Simpson. Otra manera es posible utilizando series infinitas de potencias.
Saludos.
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Re:Cerca perimetral
« Respuesta #9 en: Octubre 24, 2022, 03:46:40 pm »
Te adjunto la respuesta que le he dado a este problema Saludos.

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Re:Cerca perimetral
« Respuesta #10 en: Octubre 24, 2022, 03:49:03 pm »
Continuación...

Sólo somos una raza avanzada de monos en un planeta menor de una estrella promedio.
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Re:Cerca perimetral
« Respuesta #11 en: Octubre 24, 2022, 03:56:21 pm »
continuación...

Sólo somos una raza avanzada de monos en un planeta menor de una estrella promedio.
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Re:Cerca perimetral
« Respuesta #12 en: Octubre 24, 2022, 03:59:11 pm »
continuación...

« Última modificación: Octubre 24, 2022, 04:01:39 pm por Noel Enrique »
Sólo somos una raza avanzada de monos en un planeta menor de una estrella promedio.
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Noel Enrique

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Re:Cerca perimetral
« Respuesta #13 en: Octubre 24, 2022, 04:13:56 pm »
Adjunto final...

Sólo somos una raza avanzada de monos en un planeta menor de una estrella promedio.
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