Resolvemos tus dudas

Comparto este que encontré interesante y dice así.

La base de una cerca perimetral circular para guardar ganado tiene radio 10m y su altura en la posición \( \left(x;y\right) \) está dada por la función \( h_{\left(x;y\right)}=4+0.01\left(x^2-y^2\right) \)
a) Determine analíticamente las coordenadas \( \left(x;y\right) \) donde la cerca alcanza los puntos de mayor y menor altura. Qué valores tiene dichas alturas?
b) Si un litro de pintura cubre \( 50m^2 \), cuanta pintura necesitará si pinta ambos lados de la cerca?
c) Qué longitud tiene el perímetro o borde superior de la cerca?

Saludos Aritz. A mi también me ha dado esos valores de altura máxima y mínima, lo que lo hemos resuelto por vias diferentes, yo utilicé multiplicadores de Lagrange en la solución. Para el cálculo del área utilicé integral de superficie y para la longitud del perimetro superior coincidimos en usar integral curbilínea. Pero creo que usaste calculadora para la solución de esta integral porque esta función sub-integral no posee una antiderivada elemental. Generalmente no me gusta usar calculadora a no ser casos extremos, la resolví expresando la función sub-integral como una serie de potencias a partir de la serie binomial y esta serie tiene un radio de convergencia infinito para toda \( x\,\left(R=\infty\right) \). También comprobé el resultado utilizando integración aproximada por la regla de Simpson y arroja el mismo resultado de 63.43 mteros aproximadamente. Luego te escribo mi resultado con calma y lo envio. Saludos.

Buenas tardes,

Apoyándote en la representación de la función y de la integral es sencillo sacar el valor de la integral.
Adjunto desarrollo.

El valor exacto sería:
(10+104^1/2)*PI

Un saludo,

Perdona Aritz, pero no entiendo muy bien lo que finalmente hiciste para calcular el perimetro superior de la cerca. Sé que calculas el área bajo la curva que es lo que representa la integral, pero no comprendo muy bien la fórmula final que empleas. El resultado es el mismo pero también creo que te beneficia la figura plana a la cual le estás calculando el área.
Por ejemplo, si necesitaras encontrar el área del lóbulo principal de la curva \( f_\left(x\right)=e^{-x^2}\cdot{\cos\left(2x\right)} \), por encima del eje \( x \), cómo lo harías?
Saludos Aritz...

Hola Noel,

La longitud de la cabeza del cercado lo obtengo del punto 5 del primer mensaje

El siguiente mensaje es como obtengo el valor de dicha integral (o lo que es lo mismo el área bajo la curva) Efectivamente, la forma de curva posibilita realizar fácilmente la media (cresta+valle)/periodo

Un saludo,

La f(x) que indicas no es periódica, ni tiene la simetría que tiene (100+4(sin(2x))^2)^(1/2; por lo que no se puede hacer la media de forma tan intuitiva.

Como pensaba, en este caso no puedes operar como en el anterior. Aquí si es necesario aplicar métodos aproximativos de integración como regla del trapecio o de Simpson. Otra manera es posible utilizando series infinitas de potencias.
Saludos.

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