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Autor Tema: Composición de funciones  (Leído 552 veces)

totitaaaa

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Composición de funciones
« en: Febrero 22, 2023, 10:29:01 pm »
Buenas! Me dan una mano por favor

Sean \[ \vec{\sigma}(t)=(sen(2\pi t), cos(\pi t)), t \in \Re \hspace{0.5cm} y \hspace{0.5cm} g:\Re^2 \rightarrow \Re  \] una función tal que \[ g(0,0)=3 \hspace{0.5cm} y \hspace{0.5cm} \nabla g(0,0)=(-2,1) \] Sea \[ f(\sigma (t))=g(\vec{\sigma}(t)) \]
*Determinar el dominio y codominio de f.
*Hallar f'(1/2)

Gracias, saludos!

Noel Enrique

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Re:Composición de funciones
« Respuesta #1 en: Febrero 24, 2023, 06:16:52 am »
Creo que hay un error en la expresión del gradiente de la función g, no debería ser el gradiente de g(0,0), sino gradiente de g(x,y). El gradiente de una función potencial g(0,0) es nulo.
Mañana escribo lo que obtengo de esto.
Sólo somos una raza avanzada de monos en un planeta menor de una estrella promedio.
Pero podemos entender el Universo. Eso nos hace muy especiales.
Stephen Hawking.

totitaaaa

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Re:Composición de funciones
« Respuesta #2 en: Febrero 24, 2023, 02:46:59 pm »
Hola Noel Enrique, revise el ejercicio y me lo dieron como lo escribí, con \(  \nabla(0,0) \).
Igualmente agradezco si envías la resolución con \( \nabla(x,y) \) para entenderlo.
Saludos

Noel Enrique

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Re:Composición de funciones
« Respuesta #3 en: Febrero 24, 2023, 04:06:32 pm »
Sí, lo que quiero expresarte es que si tienes una función escalar en varias variables, por ejemplo en dos variables, donde estas son nulas como \( \displaystyle\,g_\left(0,0\right) \), entonces su gradiente es nulo y no podría dar como resultado un campo vectorial como expresa la igualdad, que es igual a \( \left(-2,1\right) \).
Naturalmente, asumiendo la función escalar como \( \displaystyle\,g_\left(x,y\right) \), si se cumple la igualdad mostrada es porque el campo vectorial \( -2\vec{i}+\vec{j} \) es conservativo, como realmente lo es.
Entonces, asumiéndolo de esa manera tendremos que:

\( \displaystyle\frac{\partial}{\partial\,x}\left[g_\left(x,y\right)\right]\vec{i}+\displaystyle\frac{\partial}{\partial\,y}\left[g_\left(x,y\right)\right]\vec{j}=\left(-2,1\right) \)
\( g_\left(x,y\right)=-2\displaystyle\int\,dx=-2x+k_\left(y\right) \)
\( \displaystyle\frac{dk_\left(y\right)}{dy}=1 \)
\( k_\left(y\right)=\displaystyle\int\,dy=y+C \)

Por tanto, la función escalar tiene la forma: \( g_\left(x,y\right)=-2x+y+C \), la cual cumple la igualdad:
\( \vec{\nabla}\left[-2x+y+C\right]=-2\vec{i}+\vec{j} \)

Ahora bien, tenemos la condición de que \( \displaystyle\,g_\left(0,0\right)=3 \), por lo que a partir de ella podemos determinar la constante C:
\( \left(-2x+y+C\right)\Big]_{\left(0,0\right)}=3 \)
\( C=3 \)

Finalmente: \( g_\left(x,y\right)=-2x+y+3 \)

Determinamos la función compuesta \( g_{\displaystyle\left(\vec{\sigma}_\left(t\right)\right)} \) siendo \( \vec{\sigma}_{\left(t\right)}=\left[\sin\left(2\pi\,t\right),\cos\left(\pi\,t\right)\right] \)

\( g_{\displaystyle\left(\vec{\sigma}_\left(t\right)\right)}=-2\sin\left(2\pi\,t\right)+\cos\left(\pi\,t\right)+3=f_{\displaystyle\left(\vec{\sigma}_\left(t\right)\right)} \)

\( f'\left(t\right)=-4\pi\cos\left(2\pi\,t\right)-\pi\sin\left(\pi\,t\right) \)

\( f'\left(1/2\right)=4\pi-\pi=3\pi \)

Sólo somos una raza avanzada de monos en un planeta menor de una estrella promedio.
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Stephen Hawking.

totitaaaa

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Re:Composición de funciones
« Respuesta #4 en: Febrero 26, 2023, 04:13:17 pm »
Claro, entiendo lo que me decís.
Muchas gracias por la explicación!