Sí, lo que quiero expresarte es que si tienes una función escalar en varias variables, por ejemplo en dos variables, donde estas son nulas como \( \displaystyle\,g_\left(0,0\right) \), entonces su gradiente es nulo y no podría dar como resultado un campo vectorial como expresa la igualdad, que es igual a \( \left(-2,1\right) \).
Naturalmente, asumiendo la función escalar como \( \displaystyle\,g_\left(x,y\right) \), si se cumple la igualdad mostrada es porque el campo vectorial \( -2\vec{i}+\vec{j} \) es conservativo, como realmente lo es.
Entonces, asumiéndolo de esa manera tendremos que:
\( \displaystyle\frac{\partial}{\partial\,x}\left[g_\left(x,y\right)\right]\vec{i}+\displaystyle\frac{\partial}{\partial\,y}\left[g_\left(x,y\right)\right]\vec{j}=\left(-2,1\right) \)
\( g_\left(x,y\right)=-2\displaystyle\int\,dx=-2x+k_\left(y\right) \)
\( \displaystyle\frac{dk_\left(y\right)}{dy}=1 \)
\( k_\left(y\right)=\displaystyle\int\,dy=y+C \)
Por tanto, la función escalar tiene la forma: \( g_\left(x,y\right)=-2x+y+C \), la cual cumple la igualdad:
\( \vec{\nabla}\left[-2x+y+C\right]=-2\vec{i}+\vec{j} \)
Ahora bien, tenemos la condición de que \( \displaystyle\,g_\left(0,0\right)=3 \), por lo que a partir de ella podemos determinar la constante C:
\( \left(-2x+y+C\right)\Big]_{\left(0,0\right)}=3 \)
\( C=3 \)
Finalmente: \( g_\left(x,y\right)=-2x+y+3 \)
Determinamos la función compuesta \( g_{\displaystyle\left(\vec{\sigma}_\left(t\right)\right)} \) siendo \( \vec{\sigma}_{\left(t\right)}=\left[\sin\left(2\pi\,t\right),\cos\left(\pi\,t\right)\right] \)
\( g_{\displaystyle\left(\vec{\sigma}_\left(t\right)\right)}=-2\sin\left(2\pi\,t\right)+\cos\left(\pi\,t\right)+3=f_{\displaystyle\left(\vec{\sigma}_\left(t\right)\right)} \)
\( f'\left(t\right)=-4\pi\cos\left(2\pi\,t\right)-\pi\sin\left(\pi\,t\right) \)
\( f'\left(1/2\right)=4\pi-\pi=3\pi \)