Resolvemos tus dudas

Qué tal, tengo que preparar estos temas y si bien esto pertenece más bien al apartado práctico de la materia, esta demostración se sustenta más que nada en la teoría (sobre todo, de límites y de continuidad).

En la imagen adjunta, mi problema está sobre el ejemplo 3, que inicia en la mitad inferior de la página de la izquierda. No logro entender la secuencia de prueba de que el límite en el origen es efectivamente cero. Sí logro cazar la idea que inicia con el concepto genérico de límite, donde ε (épsilon) es un infinitesimal, en este caso sobre la imagen de la función, y δ (delta) es un infinitesimal que representa el vecindario del dominio, en este caso es un dominio en (x;y).

No logro entender la mecánica del por qué hace las últimas dos afirmaciones de las dos últimas líneas de la página de la izquierda y me pierdo totalmente en la última parte, desde el inicio la página de la derecha. ¿Por qué x² + y² que se supone da igual a un número real, se presenta aquí como igual a un par ordenado? Esa creo es una de mis dudas clave, y lo siguiente... sinceramente no lo pesco. Puedo entender que todo gira en torno y se apoya a la definición formal de límite, pero no entiendo la lógica que sigue este ejemplo en particular para cada uno de estos pasos.

Cualquier ayuda me serviría mucho para terminar de entender esto. Aclaro que ya estoy familiarizado con estos temas, pero me he trabado con esto. Entiendo los conceptos de límite, derivadas, integrales, series y sucesiones, pero en este pasaje me han matado.

Muchas gracias de antemano!

En primer lugar esto es una duda de carácter universitario (sólo resolvemos dudas a nivel pre-universitario).

Segundo: es muy difícil preguntar con texto esa duda (aunque tú lo has hecho bien).

Voy a intentar aclarar un poco (no demasiado).

Antes de nada debes tener delante la definición de límite de una función de 2 variables. Aquí puedes verla
https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_de_una_funci%C3%B3n#Funciones_de_dos_variables_reales

Después debes aplicarla a tu caso, donde (a,b) es (0,0) y \( f(x,y)=\frac{x^2y^2}{x^2+y^2} \)

También debes observar que \( ||(x-0, y-0)|| < \delta \) es una distancia (un número real), aunque al principio de la página 4 lo ponga como \( |(x,y)-(0,0)| \) que es lo mismo pero expresado de otra forma.

La demostración se reduce a encontrar un \( \delta \) (que siempre va a ser algo en función de \( \epsilon \)) de forma que:

Sabiendo que \( 0<\sqrt{x^2+y^2} < \delta \) se cumpla que \( \frac{x^2y^2}{x^2+y^2}<\epsilon \)

Es lo mismo que decir:

Sabiendo que \( 0<x^2+y^2 < \delta^2 \) se cumpla que \( \frac{x^2y^2}{x^2+y^2}<\epsilon \)

Para ello hay que encontrar una relación entre esto \( x^2+y^2  \) y esto \( \frac{x^2y^2}{x^2+y^2} \) (es lo que hace en las 2 últimas líneas de la primera página)

Por tanto:

\[ \frac{x^2y^2}{x^2+y^2} \leq x^2+y^2 \leq \delta^2 \]

Si hacemos \( \delta = \sqrt{\epsilon} \) entonces se cumple

\[ \frac{x^2y^2}{x^2+y^2} \leq x^2+y^2 \leq (\sqrt{\epsilon})^2 \]
y por tanto se cumple:

\[ \frac{x^2y^2}{x^2+y^2} < \epsilon \] 

Espero te haya aclarado algo.