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Autor Tema: Consulta para demostración de continuidad de función  (Leído 96 veces)

Markk

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Consulta para demostración de continuidad de función
« en: Noviembre 08, 2020, 10:19:15 pm »
Qué tal, tengo que preparar estos temas y si bien esto pertenece más bien al apartado práctico de la materia, esta demostración se sustenta más que nada en la teoría (sobre todo, de límites y de continuidad).

En la imagen adjunta, mi problema está sobre el ejemplo 3, que inicia en la mitad inferior de la página de la izquierda. No logro entender la secuencia de prueba de que el límite en el origen es efectivamente cero. Sí logro cazar la idea que inicia con el concepto genérico de límite, donde ε (épsilon) es un infinitesimal, en este caso sobre la imagen de la función, y δ (delta) es un infinitesimal que representa el vecindario del dominio, en este caso es un dominio en (x;y).

No logro entender la mecánica del por qué hace las últimas dos afirmaciones de las dos últimas líneas de la página de la izquierda y me pierdo totalmente en la última parte, desde el inicio la página de la derecha. ¿Por qué x2 + y2 que se supone da igual a un número real, se presenta aquí como igual a un par ordenado? Esa creo es una de mis dudas clave, y lo siguiente... sinceramente no lo pesco. Puedo entender que todo gira en torno y se apoya a la definición formal de límite, pero no entiendo la lógica que sigue este ejemplo en particular para cada uno de estos pasos.

Cualquier ayuda me serviría mucho para terminar de entender esto. Aclaro que ya estoy familiarizado con estos temas, pero me he trabado con esto. Entiendo los conceptos de límite, derivadas, integrales, series y sucesiones, pero en este pasaje me han matado.

Muchas gracias de antemano!

Markk

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Re:Consulta para demostración de continuidad de función
« Respuesta #1 en: Noviembre 08, 2020, 10:27:40 pm »
La imagen, por las dudas, pues no me aparece el adjunto en mi móvil:

https://postimg.cc/YL7Z3FRn

matematicasies

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Re:Consulta para demostración de continuidad de función
« Respuesta #2 en: Noviembre 10, 2020, 07:51:18 am »
En primer lugar esto es una duda de carácter universitario (sólo resolvemos dudas a nivel pre-universitario).

Segundo: es muy difícil preguntar con texto esa duda (aunque tú lo has hecho bien).

Voy a intentar aclarar un poco (no demasiado).

Antes de nada debes tener delante la definición de límite de una función de 2 variables. Aquí puedes verla
https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_de_una_funci%C3%B3n#Funciones_de_dos_variables_reales

Después debes aplicarla a tu caso, donde (a,b) es (0,0) y \( f(x,y)=\frac{x^2y^2}{x^2+y^2} \)

También debes observar que \( ||(x-0, y-0)|| < \delta \) es una distancia (un número real), aunque al principio de la página 4 lo ponga como \( |(x,y)-(0,0)| \) que es lo mismo pero expresado de otra forma.

La demostración se reduce a encontrar un \( \delta \) (que siempre va a ser algo en función de \( \epsilon \)) de forma que:

Sabiendo que \( 0<\sqrt{x^2+y^2} < \delta \) se cumpla que \( \frac{x^2y^2}{x^2+y^2}<\epsilon \)

Es lo mismo que decir:

Sabiendo que \( 0<x^2+y^2 < \delta^2 \) se cumpla que \( \frac{x^2y^2}{x^2+y^2}<\epsilon \)

Para ello hay que encontrar una relación entre esto \( x^2+y^2  \) y esto \( \frac{x^2y^2}{x^2+y^2} \) (es lo que hace en las 2 últimas líneas de la primera página)

Por tanto:

\[ \frac{x^2y^2}{x^2+y^2} \leq x^2+y^2 \leq \delta^2 \]

Si hacemos \( \delta = \sqrt{\epsilon} \) entonces se cumple

\[ \frac{x^2y^2}{x^2+y^2} \leq x^2+y^2 \leq (\sqrt{\epsilon})^2 \]
y por tanto se cumple:

\[ \frac{x^2y^2}{x^2+y^2} < \epsilon \] 

Espero te haya aclarado algo.

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Thomasnus

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Re:Consulta para demostración de continuidad de función
« Respuesta #3 en: Hoy a las 12:39:26 am »
Hola a todos ¡¡¡¡

Soy nuevo en el foro y me presento , soy tigerclem, no soy físico ni astrofísico y tengo muchas ganas de saber y algunas preguntas.

Entiendo la 1,2,3,4,5 dimensión pero no consigo entender la 6 dimensión. Partiendo de la 5 en la que elegimos en cada decisión una nueva linea temporal se supone que llegado a este punto si quisiéramos "saltar" de una linea temporal actual a una distinta ¿tendríamos que volver al punto de partida de la decisión o al principio de nuestro big bang?

Para poder saltar de una linea temporal a otra deberíamos crear un pliegue en el espacio/tiempo no?

Gracias por las respuestas y estoy encantado con este foro.