En primer lugar esto es una duda de carácter universitario (sólo resolvemos dudas a nivel pre-universitario).
Segundo: es muy difícil preguntar con texto esa duda (aunque tú lo has hecho bien).
Voy a intentar aclarar un poco (no demasiado).
Antes de nada debes tener delante la definición de límite de una función de 2 variables. Aquí puedes verla
https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_de_una_funci%C3%B3n#Funciones_de_dos_variables_realesDespués debes aplicarla a tu caso, donde (a,b) es (0,0) y \( f(x,y)=\frac{x^2y^2}{x^2+y^2} \)
También debes observar que \( ||(x-0, y-0)|| < \delta \) es una distancia (un número real), aunque al principio de la página 4 lo ponga como \( |(x,y)-(0,0)| \) que es lo mismo pero expresado de otra forma.
La demostración se reduce a encontrar un \( \delta \) (que siempre va a ser algo en función de \( \epsilon \)) de forma que:
Sabiendo que \( 0<\sqrt{x^2+y^2} < \delta \) se cumpla que \( \frac{x^2y^2}{x^2+y^2}<\epsilon \)
Es lo mismo que decir:
Sabiendo que \( 0<x^2+y^2 < \delta^2 \) se cumpla que \( \frac{x^2y^2}{x^2+y^2}<\epsilon \)
Para ello hay que encontrar una relación entre esto \( x^2+y^2 \) y esto \( \frac{x^2y^2}{x^2+y^2} \) (es lo que hace en las 2 últimas líneas de la primera página)
Por tanto:
\[ \frac{x^2y^2}{x^2+y^2} \leq x^2+y^2 \leq \delta^2 \]
Si hacemos \( \delta = \sqrt{\epsilon} \) entonces se cumple
\[ \frac{x^2y^2}{x^2+y^2} \leq x^2+y^2 \leq (\sqrt{\epsilon})^2 \]
y por tanto se cumple:
\[ \frac{x^2y^2}{x^2+y^2} < \epsilon \]
Espero te haya aclarado algo.