La derivada direccional Duf(x;y) representa la razón de cambio de z en la dirección del vector unitario \( \vec{u} \). Es la pendiente de la recta tangente a la curva de intersección de la superficie z(x;y) y el plano vertical que pasa por el punto P en la dirección de \( \vec{u} \). Por lo tanto, el valor máximo de la derivada direccional es el módulo del vector gradiente |∇f| y ocurre cuando \( \vec{u} \) tiene la misma dirección que el vector gradiente ∇f.
Mostraremos este caso apoyándonos en una aplicación que hice en Geogebra para la derivada direccional. Mostraremos la curva de intersección de la superficie f(x;y)=z y el plano vertical que pasa por el punto P(2;3), el vector unitario, y el vector gradiente sobre el punto P, mostrando como el vector gradiente indica la dirección del mayor crecimiento de la función en el punto en cuestión a partir de una curva de nivel tomada precisamente en un corte de nivel realizado a la altura de este punto P cuando se proyecta verticalmente sobre la función.
\( \vec{u}=\displaystyle\frac{\vec{v}}{\left|\vec{v}\right|}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\vec{i}+\vec{j}\right) \)
\( D_{\vec{u}}f_\left(x,y\right)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\vec{i}+\vec{j}\right)\left(y\vec{i}+x\vec{j}\right)=\displaystyle\frac{y}{\sqrt{2}}+\displaystyle\frac{x}{\sqrt{2}} \)
\( D_{\vec{u}}f_\left(2;3\right)=\displaystyle\frac{5\sqrt{2}}{2} \)
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