Resolvemos tus dudas

Determinar el dominio de la función:
\( f_{\left(x\right)}=\displaystyle\int_{0}^{x}\left[t^9\ln\left(5-t\right)+\displaystyle\frac{t^{10}}{5}\right]\,dt \)

No, ese no es su dominio. Aqui no vale la intuición, sino el Cálculo. 😉
Es una broma Aritz, claramente es ese su dominio, restringido en ese intervalo por el argumento del logaritmo.
Pero ese ejercicio tiene un segundo inciso que pide determinar el valor de
\( f_\left(2\right) \). Como lo harías de forma analítica?

Buenas tardes Noel,
 

Adjunto solución basada en:
- Cambio de variable
- Solución por partes
- Binomio de newton

Con todo ello, me sale una solución de f(2)=155,63

Un saludo,

Es mucho más facil si haces en serie de Maclaurin lo siguiente:

\( t^9\,\ln\left(5-t\right)=-\displaystyle\frac{1}{5}\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\displaystyle\frac{t^{n+10}}{\left(n+1\right)\,5^n}+t^9\,\ln\left(5\right) \)

Como puedes ver, el primer término de esta serie, para n=0, daría \( -\displaystyle\frac{t^{10}}{5} \) el cual se cancelaría con el término positivo.
Luego quedaría:

\( t^9\,\ln\left(5-t\right)+\displaystyle\frac{t^{10}}{5}=-\displaystyle\frac{1}{5}\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\displaystyle\frac{t^{n+10}}{\left(n+1\right)\,5^n}+t^9\,\ln\left(5\right) \)

Luego solo resta integrar fácilmente quedando por resultado: \( f_\left(x\right)=-\displaystyle\frac{1}{5}\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\displaystyle\frac{x^{n+11}}{\left(n+11\right)\,\left(n+1\right)\,5^n}+\displaystyle\frac{x^{10}}{10}\,\ln\left(5\right) \).

Obtener entonces \( f_\left(2\right) \) es solamente sustituir x por 2 y con la suma de 5 términos obtienes el resultado.