Resolvemos tus dudas

Si tiene un extremo en eje X, allí su primera derivada es nula ya que este eje sería la tangente a la curva en ese punto.
Hacemos:
\( f'_\left(x\right)=0 \)
\( e^x\left(x-1\right)=0 \)
\( x=1 \)

\( f_\left(x\right)=\displaystyle\int\,f'_\left(x\right)\,dx=\displaystyle\int\,x\,e^x\,dx-\displaystyle\int\,e^x\,dx=x\,e^x-\displaystyle\int\,e^x\,dx-\displaystyle\int\,e^x\,dx=x\,e^x-2e^x+C \)

\( f_\left(x\right)=e^x\left(x-2\right)+C \)

Para determinar la constante de integración lo hacemos a partir de la condición del mínimo que debe tener sobre el eje X en \( x=1 \)

\( f_\left(1\right)=-e+C \)

Por tanto, para que la función en x=1 tome valor cero, debe cumplirse que C=e:

\( f_\left(x\right)=e^x\left(x-2\right)+e \)

Noel, muchas gracias, pero lo que no entiendo aparte el enunciado, es por qué:

• - lo llevas a la derivada
• - igualas a 0
• - igualas a 1
• - en la integra haces XE menos E^X