Pongo aquí los datos del ejercicio:
Base \( B=\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \} \)
Módulos: \( |\vec{u}|=2 \qquad |\vec{v}|=3 \qquad |\vec{w}|=1 \)
Productos: \( \vec{u} \cdot \vec{v}= 4 \qquad \vec{u} \cdot \vec{w}= 3 \qquad\vec{v} \cdot \vec{w}= 4 \)
Vectores: \( \vec{a}=11 \vec{u} + m \vec{v} + 3\vec{w} \qquad \vec{b}= \vec{u} + 2 \vec{v} + \vec{w} \)
Nos piden calcular m para que a y b sean ortogonales
1) Para que sean ortogonales se debe cumplir que \( \vec{a} \cdot \vec{b}=0 \)
Pero no podemos hacer esto:
\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 11 \cdot 1 + m \cdot 2 + 3 \cdot 1 \]
No podemos hacerlo porque no es una base ortonormal
Tenemos que multiplicarlos como si fuesen polinomios
\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 11 \vec{u} \cdot \vec{u}+11 \vec{u} \cdot 2\vec{v}+11 \vec{u} \cdot \vec{w}+ m\vec{v} \cdot \vec{u}+ \cdots=0 \]
Habría 9 sumandos
En todos esos sumandos tenemos que tener en cuenta que:
- \( \vec{u} \cdot \vec{u} = |\vec{u}|^2 \) (igual para \( \vec{v} \) y para \( \vec{w} \))
- \( \vec{u} \cdot \vec{v} =\vec{v} \cdot \vec{u} \) (todos los productos son conmutativos.
Teniendo en cuenta lo anterior y los datos del enunciado, ya sale fácil el ejercicio.