Resolvemos tus dudas

Estudiar la convergenca de la serie siguiente:

\( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\frac{\left(n+1\right)^n}{n^{n+2}} \)

Buenas tardes Noel,

Adjunto mi desarrollo.
Primero. Empleo el Criterio del Cociente; pero no es concluyente (solución =1)
Segundo. Empleo el Criterio de Raabe (solución 2, superior a 1) Por lo tanto la serie es convergente.

Salvo error, claro.

Un saludo,

Si, muchas gracias. Es cierto que el criterio del cociente no concluye. Luego me di cuenta que el criterio comparativo ordinario es más sencillo de aplicar.

\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\displaystyle\frac{\left(n+1\right)^n}{n^{n+2}}=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\displaystyle\frac{\left(n+1\right)^n}{n^n\cdot{n^2}}=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\displaystyle\frac{\left(1+\displaystyle\frac{1}{n}\right)^n}{n^2} \)

Comparé con la serie \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\displaystyle\frac{e}{n^2} \)
\( e\displaystyle\int_{1}^{\infty}\displaystyle\frac{dx}{x^2}=e\lim_{b\rightarrow\infty}\displaystyle\int_{1}^{b}x^{-2}\,dx=e\,\lim_{b\rightarrow\infty}\left[-\displaystyle\frac{1}{x}\Big|_{1}^{b}\right]=e \)

Por tanto, si la integral converge, la serie \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\displaystyle\frac{e}{n^2} \) también converge por el criterio integral de Cauchy.

Además se cumple que: \( \displaystyle\frac{\left(n+1\right)^n}{n^n\cdot{n^2}}\le\displaystyle\frac{e}{n^2} \)
\( \displaystyle\frac{\left(n+1\right)^n}{n^n}\le\,e \)

Por tanto, la serie \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\displaystyle\frac{\left(n+1\right)^n}{n^{n+2}} \) es convergente.

Muchas gracias de todas maneras, muy amable.