Resolvemos tus dudas

Hola como va?

Hallar si existen, los extremos locales de \[ f(x,y)=2xy+x^3y-e^{xy-1} \] y determinar los extremos absolutos de f sobre la curva \[ C: xy=1 \] desde (1,1) hasta (2, 1/2)

Empecé buscando los extremos locales el cual me dio que era un punto silla en (0,0), pero buscando los extremos absolutos me surgieron dudas, podrían ayudarme?

Al ser una curva tendría que usar el método de multiplicadores de Lagrange no?

\[
\begin{eqnarray}
2y+3x^2y-ye^{xy-1}=\lambda y \\
2x+x^3-xe^{xy-1}=\lambda x \\
xy=1
\nonumber
\end{eqnarray} \]

Agradezco la ayuda
Saludos

Esa función no posee extremos en la restricción dada (xy=1)
x=0 satisface las dos primeras ecuaciones pero no la tercera, e indefine a y ya que y=1/x
Y solo posee un punto silla en el origen

Si el intervalo es ese, o sea, está restringido, evalúa los puntos en f(x, y) y ve cual es el que toma mayor y menor valor.