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Autor Tema: GEOMETRÍA - Determinar plano con condiciones  (Leído 192 veces)

Abc123

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GEOMETRÍA - Determinar plano con condiciones
« en: Abril 11, 2020, 11:35:39 am »
Tengo que hallar la ecuación de un plano que contenga a una recta dada y esté a 2 unidades de un punto dado.
El punto es P(2,3,4). La recta tiene (2,-1,4) como vector director y contiene los puntos A(-1,1,-1) y B(1,0,3).
He intentado convertir el vector característico del plano (A,B,C) en unitario, multiplicarlo por 2 e igualarlo al vector AP por componentes, pero sale A=B=C=0.
Otra forma sería aplicar la fórmula de la distancia punto-plano, pero sale una ecuación con 4 incógnitas elevadas al cuadrado.
El problema pide justificar el número de soluciones, creo que son 2.

matematicasies

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Re:GEOMETRÍA - Determinar plano con condiciones
« Respuesta #1 en: Abril 11, 2020, 12:31:24 pm »
En primer lugar me sorprende que de la recta te den el vector director y dos puntos A y B
Sobra el punto B. Se puede comprobar que el punto B pertenece ala recta, por lo que tu enunciado no contiene datos incorrectos, aunque contiene datos de más (y no es habitual).

Efectivamente ha y dos soluciones. Si miras el haz de planos que pasan por la recta, habrá dos planos que estén a la misma distancia de un determinado punto. La imagen que adjunto te lo aclarará.

Yo lo resolvería tomando la ecuación del haz de planos secantes que contiene a la recta
(mira el siguiente enlace: https://matematicasies.com/06-Haces-de-planos-paralelos-y-secantes
Entonces al aplicar la fórmula de la distancia de un punto a un plano (https://matematicasies.com/02-Distancia-de-un-punto-a-un tendrías una sola incógnita (el \( \alpha \) que proviene de la ecuación del haz de planos). Como esa incógnita irá al cuadrado, saldrán las dos soluciones.

Me tendría que parar detenidamente a resolverlo, pero creo que así sale.


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Abc123

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Re:GEOMETRÍA - Determinar plano con condiciones
« Respuesta #2 en: Abril 11, 2020, 04:53:43 pm »
Lo he resuelto así y me ha dado la solución, muchas gracias!