Claro, esa era mi duda básicamente. Gracias
Y como debería hacer para cerrar la superficie y usar Gauss? O no me conviene hacer eso?
No es que te convenga o no usar el Teorema de Ostrodgraski-Gauss, simplemente es que no puedes usarlo porque se trata de determinar el flujo de un campo vectorial a través de una superficie abierta, porque así te lo exige el ejercicio planteando que el cilindro carece de sus bases inferior y superior. O sea, es determinar el flujo del campo que atraviesa la superficie lateral del cilindro acotado por z=0 y z=2.
\( f=\displaystyle\iint_{S}\vec{F}_\left(x,y,z\right)\cdot{d\vec{S}} \)
\( f=\displaystyle\iint_{D}\vec{F}_\left(x,y,z\right)\,\displaystyle\frac{\vec{\nabla}\left(x^2+y^2-4\right)}{\left|\vec{\nabla}\left(x^2+y^2-4\right)\right|}\,\displaystyle\frac{dy\,dz}{\left|\displaystyle\frac{\vec{\nabla}\left(x^2+y^2-4\right)}{\left|\vec{\nabla}\left(x^2+y^2-4\right)\right|}\cdot{\vec{i}}\right|} \)
Observa como pasamos de la integral de superficie inicial a una integral doble proyectando la superficie lateral cilíndrica sobre el plano YZ.
Luego, la superficie lateral cilíndrica proyectada tendrá dos superficies simétricas sobre este plano determinadas por la ecuación: \( x=\pm{\sqrt[ ]{4-y^2}} \)
\( f=\displaystyle\iint_{D}\left(x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}\right)\,\displaystyle\frac{\left(x\vec{i}+y\vec{j}\right)}{\sqrt[ ]{x^2+y^2}}\,\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{x^2+y^2}}{\left|x\right|}\,dy\,dz=\displaystyle\iint_{D}\displaystyle\frac{x^2+y^2}{\left|x\right|}dy\,dz=\displaystyle\int_{-2}^{2}\left\{\displaystyle\int_{0}^{2}\displaystyle\frac{4}{\sqrt[ ]{4-y^2}}\,dz\right\}\,dy+\displaystyle\int_{-2}^{2}\left\{\displaystyle\int_{0}^{2}\displaystyle\frac{4}{\left|-\sqrt[ ]{4-y^2}\right|}\,dz\right\}\,dy \)
\( f=8\displaystyle\int_{-2}^{2}\left\{\displaystyle\int_{0}^{2}\displaystyle\frac{dz}{\sqrt[ ]{4-y^2}}\right\}\,dy=16\displaystyle\int_{-2}^{2}\displaystyle\frac{dy}{\sqrt[ ]{4-y^2}}=32\displaystyle\int_{0}^{2}\displaystyle\frac{dy}{\sqrt[ ]{4-y^2}} \)
Hago el cambio de variable: \( y=2\,\sin\left(\theta\right) \); \( dy=2\,\cos\left(\theta\right)\,d\theta \)
\( f=64\displaystyle\int_{0}^{\displaystyle\frac{\pi}{2}}\displaystyle\frac{\cos\left(\theta\right)\,d\theta}{2\sqrt[ ]{1-\sin^2\left(\theta\right)}}=32\displaystyle\int_{0}^{\displaystyle\frac{\pi}{2}}\,d\theta=32\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=16\pi \)
\( f=16\pi \)

O sea, el flujo de ese campo vectorial a través de la superficie lateral cilíndrica es \( 16\pi \)
Mostramos el campo vectorial \( \vec{f}_\left(x,y,z\right)=\left(x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}\right) \) conjuntamente con la superficie lateral cilíndrica (tomar solo en cuenta la superficie lateral cilíndrica acotada entre z=0 y z=2. Este diagrama fue configurado con GeoGebra:
