Resolvemos tus dudas

O sea, calcular el flujo de ese campo vectorial a través de una superficie cilíndrica abierta, sin las bases superior e inferior del cilindro. No podemos usar Teorema de Gauss entonces. Luego edito la respuesta.

Claro, esa era mi duda básicamente. Gracias
 
Y como debería hacer para cerrar la superficie y usar Gauss? O no me conviene hacer eso?

No es que te convenga o no usar el Teorema de Ostrodgraski-Gauss, simplemente es que no puedes usarlo porque se trata de determinar el flujo de un campo vectorial a través de una superficie abierta, porque así te lo exige el ejercicio planteando que el cilindro carece de sus bases inferior y superior. O sea, es determinar el flujo del campo que atraviesa la superficie lateral del cilindro acotado por z=0 y z=2.

\( f=\displaystyle\iint_{S}\vec{F}_\left(x,y,z\right)\cdot{d\vec{S}} \)

\( f=\displaystyle\iint_{D}\vec{F}_\left(x,y,z\right)\,\displaystyle\frac{\vec{\nabla}\left(x^2+y^2-4\right)}{\left|\vec{\nabla}\left(x^2+y^2-4\right)\right|}\,\displaystyle\frac{dy\,dz}{\left|\displaystyle\frac{\vec{\nabla}\left(x^2+y^2-4\right)}{\left|\vec{\nabla}\left(x^2+y^2-4\right)\right|}\cdot{\vec{i}}\right|} \)

Observa como pasamos de la integral de superficie inicial a una integral doble proyectando la superficie lateral cilíndrica sobre el plano YZ.
Luego, la superficie lateral cilíndrica proyectada tendrá dos superficies simétricas sobre este plano determinadas por la ecuación: \( x=\pm{\sqrt[ ]{4-y^2}} \)

\( f=\displaystyle\iint_{D}\left(x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}\right)\,\displaystyle\frac{\left(x\vec{i}+y\vec{j}\right)}{\sqrt[ ]{x^2+y^2}}\,\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{x^2+y^2}}{\left|x\right|}\,dy\,dz=\displaystyle\iint_{D}\displaystyle\frac{x^2+y^2}{\left|x\right|}dy\,dz=\displaystyle\int_{-2}^{2}\left\{\displaystyle\int_{0}^{2}\displaystyle\frac{4}{\sqrt[ ]{4-y^2}}\,dz\right\}\,dy+\displaystyle\int_{-2}^{2}\left\{\displaystyle\int_{0}^{2}\displaystyle\frac{4}{\left|-\sqrt[ ]{4-y^2}\right|}\,dz\right\}\,dy \)

\( f=8\displaystyle\int_{-2}^{2}\left\{\displaystyle\int_{0}^{2}\displaystyle\frac{dz}{\sqrt[ ]{4-y^2}}\right\}\,dy=16\displaystyle\int_{-2}^{2}\displaystyle\frac{dy}{\sqrt[ ]{4-y^2}}=32\displaystyle\int_{0}^{2}\displaystyle\frac{dy}{\sqrt[ ]{4-y^2}} \)

Hago el cambio de variable: \( y=2\,\sin\left(\theta\right) \);   \( dy=2\,\cos\left(\theta\right)\,d\theta \)

\( f=64\displaystyle\int_{0}^{\displaystyle\frac{\pi}{2}}\displaystyle\frac{\cos\left(\theta\right)\,d\theta}{2\sqrt[ ]{1-\sin^2\left(\theta\right)}}=32\displaystyle\int_{0}^{\displaystyle\frac{\pi}{2}}\,d\theta=32\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=16\pi \)

\( f=16\pi \)
 

O sea, el flujo de ese campo vectorial a través de la superficie lateral cilíndrica es \( 16\pi \)


Mostramos el campo vectorial \( \vec{f}_\left(x,y,z\right)=\left(x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}\right) \) conjuntamente con la superficie lateral cilíndrica (tomar solo en cuenta la superficie lateral cilíndrica acotada entre z=0 y z=2. Este diagrama fue configurado con GeoGebra:

Excelente, muchas gracias por la explicación!!!!
Saludos

Por dar un punto de vista diferente.

El campo vectorial y la superficie de este ejercicio tiene una particularidad que lo simplifica en gran medida:
- La componente perpendicular a la superficie del campo vectorial es igual 2, para cualquier punto de la superficie cilíndrica

Por ello, el flujo se puede obtener multiplicando 2 por la superficie lateral del cilindro:
- Desarrollo lateral cilindro
\( 2\pi \cdot r\cdot 2=2\pi \cdot 2\cdot 2=8\pi \)
- Flujo
\( 8\pi\cdot 2=16\pi \)

Lógicamente, es asi , como bien planteas. Pero se resuelve de forma genérica utilizando análisis vectorial del flujo ya que no siempre el campo vectorial tiene esa composición. Saludos.

Buenos días Noel,

Para cualquier punto del lateral del cilindro, el módulo de la componente perpendicular del campo vectorial es igual a 2. Dicha componente perpendicular a la superficie es la única que aporta al flujo.
Por ello, en este caso, para obtener el flujo a través del lateral del cilindro, bastaría con multiplicar la superficie por la componente perpendicular del campo vectorial (que según lo indicado en el párrafo anterior es constante e igual a 2)

Por lo que el flujo es:
8π (superficie)⋅2(módulo de la componente perpendicular) =16π

Un saludo,

Hola Noel,
Adjunto un dibujo a mano.
Para cualquier punto P(x,y,z) del lateral del cilindro, la proyección del vector F(x,y,z) sobre el plano horizontal es perpendicular a la superficie del cilindro e igual al radio del propio cilindro, es decir, 2.
Un saludo,