Resolvemos tus dudas
Dudas Académicas => Matemáticas Bachillerato => Mensaje iniciado por: totitaaaa en Febrero 04, 2023, 10:08:29 pm
-
Calcular el flujo del campo \[ F(x,y,z)=(x,y,z) \] a través de la superficie del cilindro sólido (sin tapas) \[ x^2+y^2=4, 0 \leq{z}\leq{2} \]
Gracias
-
O sea, calcular el flujo de ese campo vectorial a través de una superficie cilíndrica abierta, sin las bases superior e inferior del cilindro. No podemos usar Teorema de Gauss entonces. Luego edito la respuesta.
-
Claro, esa era mi duda básicamente. Gracias
Y como debería hacer para cerrar la superficie y usar Gauss? O no me conviene hacer eso?
-
Claro, esa era mi duda básicamente. Gracias
Y como debería hacer para cerrar la superficie y usar Gauss? O no me conviene hacer eso?
No es que te convenga o no usar el Teorema de Ostrodgraski-Gauss, simplemente es que no puedes usarlo porque se trata de determinar el flujo de un campo vectorial a través de una superficie abierta, porque así te lo exige el ejercicio planteando que el cilindro carece de sus bases inferior y superior. O sea, es determinar el flujo del campo que atraviesa la superficie lateral del cilindro acotado por z=0 y z=2.
\( f=\displaystyle\iint_{S}\vec{F}_\left(x,y,z\right)\cdot{d\vec{S}} \)
\( f=\displaystyle\iint_{D}\vec{F}_\left(x,y,z\right)\,\displaystyle\frac{\vec{\nabla}\left(x^2+y^2-4\right)}{\left|\vec{\nabla}\left(x^2+y^2-4\right)\right|}\,\displaystyle\frac{dy\,dz}{\left|\displaystyle\frac{\vec{\nabla}\left(x^2+y^2-4\right)}{\left|\vec{\nabla}\left(x^2+y^2-4\right)\right|}\cdot{\vec{i}}\right|} \)
Observa como pasamos de la integral de superficie inicial a una integral doble proyectando la superficie lateral cilíndrica sobre el plano YZ.
Luego, la superficie lateral cilíndrica proyectada tendrá dos superficies simétricas sobre este plano determinadas por la ecuación: \( x=\pm{\sqrt[ ]{4-y^2}} \)
\( f=\displaystyle\iint_{D}\left(x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}\right)\,\displaystyle\frac{\left(x\vec{i}+y\vec{j}\right)}{\sqrt[ ]{x^2+y^2}}\,\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{x^2+y^2}}{\left|x\right|}\,dy\,dz=\displaystyle\iint_{D}\displaystyle\frac{x^2+y^2}{\left|x\right|}dy\,dz=\displaystyle\int_{-2}^{2}\left\{\displaystyle\int_{0}^{2}\displaystyle\frac{4}{\sqrt[ ]{4-y^2}}\,dz\right\}\,dy+\displaystyle\int_{-2}^{2}\left\{\displaystyle\int_{0}^{2}\displaystyle\frac{4}{\left|-\sqrt[ ]{4-y^2}\right|}\,dz\right\}\,dy \)
\( f=8\displaystyle\int_{-2}^{2}\left\{\displaystyle\int_{0}^{2}\displaystyle\frac{dz}{\sqrt[ ]{4-y^2}}\right\}\,dy=16\displaystyle\int_{-2}^{2}\displaystyle\frac{dy}{\sqrt[ ]{4-y^2}}=32\displaystyle\int_{0}^{2}\displaystyle\frac{dy}{\sqrt[ ]{4-y^2}} \)
Hago el cambio de variable: \( y=2\,\sin\left(\theta\right) \); \( dy=2\,\cos\left(\theta\right)\,d\theta \)
\( f=64\displaystyle\int_{0}^{\displaystyle\frac{\pi}{2}}\displaystyle\frac{\cos\left(\theta\right)\,d\theta}{2\sqrt[ ]{1-\sin^2\left(\theta\right)}}=32\displaystyle\int_{0}^{\displaystyle\frac{\pi}{2}}\,d\theta=32\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=16\pi \)
\( f=16\pi \)
;)
O sea, el flujo de ese campo vectorial a través de la superficie lateral cilíndrica es \( 16\pi \)
Mostramos el campo vectorial \( \vec{f}_\left(x,y,z\right)=\left(x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}\right) \) conjuntamente con la superficie lateral cilíndrica (tomar solo en cuenta la superficie lateral cilíndrica acotada entre z=0 y z=2. Este diagrama fue configurado con GeoGebra:
(https://foro-dudas.gratis/matematicas-bachillerato/integral-de-superficie-4522/?action=dlattach;attach=2632)
-
Otros diagramas:
(https://foro-dudas.gratis/matematicas-bachillerato/integral-de-superficie-4522/?action=dlattach;attach=2634)
-
Excelente, muchas gracias por la explicación!!!!
Saludos
-
Por dar un punto de vista diferente.
El campo vectorial y la superficie de este ejercicio tiene una particularidad que lo simplifica en gran medida:
- La componente perpendicular a la superficie del campo vectorial es igual 2, para cualquier punto de la superficie cilíndrica
Por ello, el flujo se puede obtener multiplicando 2 por la superficie lateral del cilindro:
- Desarrollo lateral cilindro
\( 2\pi \cdot r\cdot 2=2\pi \cdot 2\cdot 2=8\pi \)
- Flujo
\( 8\pi\cdot 2=16\pi \)
-
Por dar un punto de vista diferente.
El campo vectorial y la superficie de este ejercicio tiene una particularidad que lo simplifica en gran medida:
- La componente perpendicular a la superficie del campo vectorial es igual 2, para cualquier punto de la superficie cilíndrica
Por ello, el flujo se puede obtener multiplicando 2 por la superficie lateral del cilindro:
- Desarrollo lateral cilindro
\( 2\pi \cdot r\cdot 2=2\pi \cdot 2\cdot 2=8\pi \)
- Flujo
\( 8\pi\cdot 2=16\pi \)
Lógicamente, es asi , como bien planteas. Pero se resuelve de forma genérica utilizando análisis vectorial del flujo ya que no siempre el campo vectorial tiene esa composición. Saludos.
-
Por dar un punto de vista diferente.
El campo vectorial y la superficie de este ejercicio tiene una particularidad que lo simplifica en gran medida:
- La componente perpendicular a la superficie del campo vectorial es igual 2, para cualquier punto de la superficie cilíndrica
Por ello, el flujo se puede obtener multiplicando 2 por la superficie lateral del cilindro:
- Desarrollo lateral cilindro
\( 2\pi \cdot r\cdot 2=2\pi \cdot 2\cdot 2=8\pi \)
- Flujo
\( 8\pi\cdot 2=16\pi \)
Lógicamente, es asi , como bien planteas. Pero se resuelve de forma genérica utilizando análisis vectorial del flujo ya que no siempre el campo vectorial tiene esa composición. Saludos.
Interpretando más a fondo tu respuesta, supongo que lo analizaste desde el punto de vista conceptual de flujo, o sea,
\( f=\displaystyle\iint_{S}\vec{F}_\left(x,y,z\right)\cdot{d\vec{S}}=\displaystyle\iint_{S}\left|\vec{F}_\left(x,y,z\right)\right|\,\left|d\vec{S}\right|\,\cos\left(\vec{F},d\vec{S}\right) \)
El módulo del campo es, \( \left|\vec{F}_\left(x,y,z\right)\right|=\sqrt{x^2+y^2+z^2} \)
El área lateral del cilindro es \( 2\pi\,r\,h=8\pi \)
Cómo lo terminas de forma analítica?, Quiero ver como procedes.
-
Buenos días Noel,
Para cualquier punto del lateral del cilindro, el módulo de la componente perpendicular del campo vectorial es igual a 2. Dicha componente perpendicular a la superficie es la única que aporta al flujo.
Por ello, en este caso, para obtener el flujo a través del lateral del cilindro, bastaría con multiplicar la superficie por la componente perpendicular del campo vectorial (que según lo indicado en el párrafo anterior es constante e igual a 2)
Por lo que el flujo es:
8π (superficie)⋅2(módulo de la componente perpendicular) =16π
Un saludo,
-
Buenos días Noel,
Para cualquier punto del lateral del cilindro, el módulo de la componente perpendicular del campo vectorial es igual a 2. Dicha componente perpendicular a la superficie es la única que aporta al flujo.
Por ello, en este caso, para obtener el flujo a través del lateral del cilindro, bastaría con multiplicar la superficie por la componente perpendicular del campo vectorial (que según lo indicado en el párrafo anterior es constante e igual a 2)
Por lo que el flujo es:
8π (superficie)⋅2(módulo de la componente perpendicular) =16π
Un saludo,
Buenos días (o buenas tardes) Aritz. Comprendo lo que me dices, pero mi pregunta es: como llegas a definir analíticamente de que la componente perpendicular del campo es 2.
Por otra parte, ¿¿¿donde se indica que esa componente es constante e igual a 2 ?????
-
Hola Noel,
Adjunto un dibujo a mano.
Para cualquier punto P(x,y,z) del lateral del cilindro, la proyección del vector F(x,y,z) sobre el plano horizontal es perpendicular a la superficie del cilindro e igual al radio del propio cilindro, es decir, 2.
Un saludo,