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Autor Tema: la trayectoria  (Leído 333 veces)

meggon

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la trayectoria
« en: Julio 30, 2022, 05:32:29 am »
Sea r = (t^2 -1)i + (1/3*t^3-t)j, la trayectoria que describe una partícula que se mueve a lo largo de una curva C.

Determinar para el instante t = 2:
a. Velocidad
b. Rapidez
c. Aceleración
d. Vector tangente
e. Vector normal
f. Curvatura
g. Componentes tangencial y normal de la aceleración.

Noel Enrique

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Re:la trayectoria
« Respuesta #1 en: Agosto 15, 2022, 11:26:15 pm »
Sea r = (t^2 -1)i + (1/3*t^3-t)j, la trayectoria que describe una partícula que se mueve a lo largo de una curva C.

Determinar para el instante t = 2:
a. Velocidad
b. Rapidez
c. Aceleración
d. Vector tangente
e. Vector normal
f. Curvatura
g. Componentes tangencial y normal de la aceleración.

Tienes la trayectoria vectorial \( \vec{r}=\left(t^2-1\right)\vec{i}+\left(\displaystyle\frac{t^3}{3}-t\right)\vec{j} \) para \( t=2 \)

velocidad: \( \vec{v}=\displaystyle\frac{d\vec{r}}{dt}=\displaystyle\frac{dx}{dt}\vec{i}+\displaystyle\frac{dy}{dt}\vec{j}=2t\,\vec{i}+\left(t^2-1\right)\vec{j}=4\vec{i}+3\vec{j} \)

aceleración: \( \vec{a}=\displaystyle\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}=\displaystyle\frac{d^2x}{dt^2}\vec{i}+\displaystyle\frac{d^2y}{dt^2}\vec{j}=2\vec{i}+2t\vec{j}=2\vec{i}+4\vec{j} \)

vector tangente unitario \( \vec{\tau} \): \( \vec{\tau}=\displaystyle\frac{d\vec{r}}{dl}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{d\vec{r}}{dt}}{\left|\displaystyle\frac{d\vec{r}}{dt}\right|}=\displaystyle\frac{2t\vec{i}+\left(t^2-1\right)\vec{j}}{\sqrt{4t^2+\left(t^2-1\right)^2}}=\displaystyle\frac{4\vec{i}+3\vec{j}}{5}=\displaystyle\frac{4}{5}\vec{i}+\displaystyle\frac{3}{5}\vec{j} \)
Vector no unitario tangente: \( \vec{\tau}=\displaystyle\frac{\vec{T}}{\left|\vec{T}\right|} \)    \( \vec{T}=\vec{\tau}\,\left|\vec{T}\right| \)
\( \vec{T}=4\vec{i}+3\vec{j} \)

vector normal unitario: \( \vec{\nu}=\vec{\beta}X\vec{\tau} \)
\( \vec{\beta} \) es el vector unitario de la binormal
\( \vec{B}=\displaystyle\frac{d\vec{r}}{dt}X\displaystyle\frac{d^2\vec{r}}{dt^2} \) es el vector no unitario de la binormal.

\( \vec{B}=\begin{equation}
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
2t & t^2-1 & 0\\
2 & 2t & 0
\end{vmatrix}
\end{equation}=4t^2\vec{k}-2\left(t^2-1\right)\vec{k}=16\vec{k}-6\vec{k}=10\vec{k}  \)
\( \vec{\beta}=\displaystyle\frac{10\vec{k}}{10}=\vec{k} \)
\( \vec{\nu}=\vec{\beta}X\vec{\tau}=\begin{equation}
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
0 & 0 & 1\\
4/5 & 3/5 & 0
\end{vmatrix}
\end{equation}=\displaystyle\frac{4}{5}\vec{j}- \displaystyle\frac{3}{5}\vec{i} \)
Vector no unitario de la normal: \( \vec{N}=\vec{\tau}\cdot{\left|\vec{N}\right|} \)
\( \vec{N}=-3\vec{i}+4\vec{j} \)

« Última modificación: Agosto 16, 2022, 05:42:17 pm por Noel Enrique »
Sólo somos una raza avanzada de monos en un planeta menor de una estrella promedio.
Pero podemos entender el Universo. Eso nos hace muy especiales.
Stephen Hawking.