Resolvemos tus dudas

Autor Tema: límites  (Leído 137 veces)

Noel Enrique

  • Jr. Member
  • **
  • Mensajes: 57
  • Karma: +2/-0
    • Ver Perfil
límites
« en: Noviembre 10, 2022, 04:51:43 pm »
Para qué valor de \( a \) se cumple la siguiente igualdad?

\( e^{a}\,\lim_{x\to\infty}\left[x-x^2\,\ln\left(\displaystyle\frac{1+x}{x}\right)\right]=\lim_{x\to0}\left[\left(\displaystyle\frac{1}{2x}\right)\displaystyle\int_{0}^{x}\left(1+\tan\left(2t\right)\right)^{1/t}\,dt\right] \)
Sólo somos una raza avanzada de monos en un planeta menor de una estrella promedio.
Pero podemos entender el Universo. Eso nos hace muy especiales.
Stephen Hawking.

Aritz

  • Jr. Member
  • **
  • Mensajes: 74
  • Karma: +9/-0
    • Ver Perfil
Re:límites
« Respuesta #1 en: Noviembre 14, 2022, 05:39:04 pm »
Buenas tardes Noel,

A mí me ha salido que a=2. Adjunto desarrollo.

Un saludo,

Noel Enrique

  • Jr. Member
  • **
  • Mensajes: 57
  • Karma: +2/-0
    • Ver Perfil
Re:límites
« Respuesta #2 en: Noviembre 14, 2022, 05:56:09 pm »
Así es Aritz, pero, ¿conoces el teorema fundamental del Cálculo? Si lo aplicas para el límite del miembro derecho, trabajas más eficientemente. Prueba y verás.

Por ejemplo, si necesitas calcular la derivada de la función \( s_\left(x\right)=\displaystyle\int_{\cos\left(x\right)}^{\sin\left(x\right)}\ln\left(1+2u\right)du \)

O encontrar la longitud de la curva \( g_\left(x\right)=\displaystyle\int_{0}^{x}\sqrt{1+e^{-t^2}}\,dt \) en el intervalo \( 0\le{x}\le2 \)
Saludos.
« Última modificación: Noviembre 14, 2022, 06:11:55 pm por Noel Enrique »
Sólo somos una raza avanzada de monos en un planeta menor de una estrella promedio.
Pero podemos entender el Universo. Eso nos hace muy especiales.
Stephen Hawking.

Aritz

  • Jr. Member
  • **
  • Mensajes: 74
  • Karma: +9/-0
    • Ver Perfil
Re:límites
« Respuesta #3 en: Noviembre 16, 2022, 11:25:36 am »
Hola Noel,

Sí, conozco el Teorema Fundamental del Cálculo; pero no caigo en cómo su aplicación en el término de la derecha me facilitaría la resolución. Por favor, ¿si pudieras aclarármelo te lo agradecería?

Por otro lado, en los 2 ejemplos propuestos "a posteriori", sí veo que dicho Teorema es de aplicación directa. Adjunto fichero con la resolución de ambos ejemplos.

Gracias. Un saludo,

Noel Enrique

  • Jr. Member
  • **
  • Mensajes: 57
  • Karma: +2/-0
    • Ver Perfil
Re:límites
« Respuesta #4 en: Noviembre 16, 2022, 04:11:29 pm »
En el segndo término tienes el límite cuando x tiende a cero de un cociente que arroja la indeterminación 0/0. Por tanto es amplicar L´Hospital directamente. En los otros dos ejemplos es correcta la aplicación. Solo que no me dejes esa última integral sin una solución analítica, usa el método que quieras pero por via analítica. No uses calculadora, vamos que tu puedes!!!
Sólo somos una raza avanzada de monos en un planeta menor de una estrella promedio.
Pero podemos entender el Universo. Eso nos hace muy especiales.
Stephen Hawking.

Aritz

  • Jr. Member
  • **
  • Mensajes: 74
  • Karma: +9/-0
    • Ver Perfil
Re:límites
« Respuesta #5 en: Noviembre 16, 2022, 05:04:48 pm »
Cierto. No había caído.
Gracias.