Resolvemos tus dudas

Autor Tema: Problema de área mínima  (Leído 890 veces)

Noel Enrique

  • Full Member
  • ***
  • Mensajes: 104
  • Karma: +4/-0
    • Ver Perfil
Problema de área mínima
« en: Febrero 15, 2023, 05:18:44 pm »
A este problema le he dado una solución, quisiera compararla con otras opciones que se le pudiesen dar si no coinciden ambas.

Si la elipse \( \displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1 \) debe encerrar al círculo \( x^2+y^2=2y \), qué valores de a y b minimizan el área de la elipse?
Sólo somos una raza avanzada de monos en un planeta menor de una estrella promedio.
Pero podemos entender el Universo. Eso nos hace muy especiales.
Stephen Hawking.

Aritz

  • Full Member
  • ***
  • Mensajes: 111
  • Karma: +11/-0
    • Ver Perfil
Re:Problema de área mínima
« Respuesta #1 en: Febrero 16, 2023, 12:12:47 pm »
Buenos días Noel,

A mí me sale esta solución:

a=\( \sqrt{2} \)
b=2
Área elipse=2\( \sqrt{2} \)\( \pi \)

¿Coincide con la solución tuya?

Un saludo,

Noel Enrique

  • Full Member
  • ***
  • Mensajes: 104
  • Karma: +4/-0
    • Ver Perfil
Re:Problema de área mínima
« Respuesta #2 en: Febrero 16, 2023, 04:50:31 pm »
Buenos días Noel,

A mí me sale esta solución:

a=\( \sqrt{2} \)
b=2
Área elipse=2\( \sqrt{2} \)\( \pi \)

¿Coincide con la solución tuya?

Un saludo,


No, no obtengo esos valores. Porque existe otra elípse que posee un área inferior.
Te grafico la circunferencia, la elipse con trazo azul (ec2) que es la tuya, y la elipse con trazo rojo discontinuo (ec3) que obtengo. Con el comando de área de Geogebra muestro las áreas que encierran cada elipse. La roja discontinua encierra menor área posible.


« Última modificación: Febrero 16, 2023, 04:52:05 pm por Noel Enrique »
Sólo somos una raza avanzada de monos en un planeta menor de una estrella promedio.
Pero podemos entender el Universo. Eso nos hace muy especiales.
Stephen Hawking.

Aritz

  • Full Member
  • ***
  • Mensajes: 111
  • Karma: +11/-0
    • Ver Perfil
Re:Problema de área mínima
« Respuesta #3 en: Febrero 17, 2023, 12:11:34 am »
Cierto Noel.
Se me había metido en la cabeza que circunferencia y elipse eran tangentes en el punto (0,2) y no es así.
Al final he obtenido los siguientes valores para la elipse solicitada:
\[ a=\sqrt{\frac{3}{2}} \]
\[ b=\frac{3\sqrt{2}}{2} \]
\[ Área=\frac{3\sqrt{3}}{2}\pi  \]

Un saludo,

Noel Enrique

  • Full Member
  • ***
  • Mensajes: 104
  • Karma: +4/-0
    • Ver Perfil
Re:Problema de área mínima
« Respuesta #4 en: Febrero 17, 2023, 06:04:51 am »
Esos son los valores que obtengo. Me interesa más conocer el método que utilizaste en la solución. Gracias Aritz.
Sólo somos una raza avanzada de monos en un planeta menor de una estrella promedio.
Pero podemos entender el Universo. Eso nos hace muy especiales.
Stephen Hawking.

Aritz

  • Full Member
  • ***
  • Mensajes: 111
  • Karma: +11/-0
    • Ver Perfil
Re:Problema de área mínima
« Respuesta #5 en: Febrero 18, 2023, 12:53:23 pm »
Buenas tardes Noel,

Adjunto solución manuscrita. Pasos seguidos:
- Resolver las ecuaciones de la circunferencia y elipse, para obtener los puntos de tangencia
- Para que sean 2 puntos de tangencia como los que grafiaste, sólo habrá un único valor de "y". Por ello, considero que la raíz (de la solución de la ecuación de segundo orden) debe ser igual a cero.
- Del punto anterior saco la relación existente entre los valores a y b
- Expreso el área de la elipse en función del valor de a. Realizo la derivada del área de la elipse respecto al valor a y lo igualo a 0 (condición de mínimo/máximo, en este caso mínimo)
- A partir de hay obtengo el valor de a, b y área de la elipse.

Seguro que hay más formas de obtenerlo; pero ésta es la que he empleado yo.

Un saludo,

Noel Enrique

  • Full Member
  • ***
  • Mensajes: 104
  • Karma: +4/-0
    • Ver Perfil
Re:Problema de área mínima
« Respuesta #6 en: Febrero 18, 2023, 07:11:08 pm »
Si, lo hice de igual manera, la unica diferencia es que utilicé el Método de Lagrange para determinar el área mínima. Por lo demás, igual. Bueno, nos quedamos entonces con ese.
Sólo somos una raza avanzada de monos en un planeta menor de una estrella promedio.
Pero podemos entender el Universo. Eso nos hace muy especiales.
Stephen Hawking.

Aritz

  • Full Member
  • ***
  • Mensajes: 111
  • Karma: +11/-0
    • Ver Perfil
Re:Problema de área mínima
« Respuesta #7 en: Febrero 20, 2023, 01:11:33 am »
Ok Noel.

Gracias por publicar ejercicios. Disfruto con ellos.

Un saludo,