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Autor Tema: Punto en el que una Curva Plana se Corta a sí misma (ecuaciones paramétricas)  (Leído 76 veces)

Daniel

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Hola, saludos.

Por más que lo pienso y reflexiono no logro encontrar un método algebraico o analítico que permita determinar/calcular las coordenadas del punto en el que una curva plana se corta a si misma. Al plantear un sistema de ecuaciones, me queda un sistema de dos ecuaciones independientes con tres incognicas. La idea es encontrar los valores del parámetro "t" para el cual "y" y "x" vuelven a valer lo mismo (no y=x, sino y de t_1 igual a y de t_2 de la misma manera con x). Pero no se conocen los valores particulares de t (generalmente dos, si la curva se corta a si misma una vez en ese punto del plano) ni se conocen ninguno de los valores "x", "y".

Para una mejor visualización de la situación ver la figura adjunta. En la primera imagen se visuliza fácilmente la respuesta a esta cuestión, pero sólo porque son números enteros, y eso se debe a la particualidad de ese ejemplo. ¿Cuál es el método general para encontrar ese o esos puntos? No logro vislumbrarlo.

Agradezco cualquier ayuda que a mi interrogante puedan brindar. Gracias.

matematicasies

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El estudio de curvas parametrizadas es un tema de ámbito universitario, al que no damos soporte en estos foros.

Básicamente se empieza resolviendo el sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas:
\[ x(t_1)=x(t_2) \]
\[ y(t_1)=y(t_2) \]

Según la naturaleza de las soluciones, será un punto asilado, un punto de retroceso, un punto doble, ..
Creo recordar que cuando \( t_1 \neq t_2 \) era punto doble (punto en que la curva se corta a sí misma).

Si usamos algún software  para resolver el sistema de tu ejemplo (o resolvemos manualmente) una de las parejas de soluciones es 2 y -1 , que al ser distintas es un punto doble.

Si das el valor t=2 (o el valor t=-1), veras que obtienes el punto x=2, y=1

Con eso, quizás tengas para empezar a investigar

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Daniel

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Excelente respuesta. La solución es la solución del sistema:

\begin{array}{ c }
x(t_{1} )=x(t_{2} )\\
y(t_{1} )=y(t_{2} )
\end{array}

No veía el sistema de esa forma, ahora si lo veo. Muchas gracias.

Nota: Por cierto, ¿por acá existirá algún foro de matemáticas de nivel universitario? Gracias.